As unidades de Planck ou unidades naturais são um sistema de unidades proposto pela primeira vez em 1899 por Max Planck. O sistema mede várias das magnitudes fundamentais do universo: tempo, longitude, massa, carga elétrica e temperatura. O sistema se define fazendo que estas cinco constantes físicas universais da tabela tomem o valor 1 quando se expressem equações e cálculos em tal sistema.

O uso deste sistema de unidades traz consigo várias vantagens. A primeira e mais óbvia é que simplifica muito a estrutura das equações físicas porque elimina as constantes de proporcionalidade e faz com que os resultados das equações não dependam do valor das constantes.

Por outra parte, se podem comparar muito mais facilmente as magnitudes de distintas unidades. Por exemplo, dois prótons se repelem porque a repulsão eletromagnética é muito mais forte que a atração gravitacional entre eles. Isto pode ser comprovado ao ver que os prótons têm uma carga aproximadamente igual a uma unidade natural de carga, mas sua massa é muito menor que a unidade natural de massa.

Também permite evitar bastantes problemas de arredondamento, sobretudo em computação. Entretanto, têm o inconveniente de que ao usá-las é mais difícil perceber-se os erros dimensionais. São populares na área de investigação da relatividade geral e a gravidade quântica.

As unidades de Planck podem ser chamadas (por ironia) pelos físicos como as "unidades de Deus". Isto elimina qualquer arbitrariedade antropocêntrica do sistema de unidades.

Tabela 1: Constantes físicas fundamentais

Constante	Símbolo	Dimensão
velocidade da luz no vácuo	${\displaystyle {c}\ }$	L / T
Constante de gravitação	${\displaystyle {G}\ }$	L3/T2M
Constante reduzida de Planck	${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ onde ${\displaystyle {h}\ }$ é a constante de Planck	ML2/T
Constante de força de Coulomb	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ onde ${\displaystyle {\epsilon _{0}}\ }$ é a permissividade no vácuo	M L3/ Q2 T2
Constante de Boltzmann	${\displaystyle {k}\ }$	M L3/T2K

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Expressão de leis físicas em unidades de Planck[editar | editar código-fonte]

• Lei da gravitação universal de Newton

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D
• 
  

se converte em

${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$ utilizando unidades de Planck.

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D
• 
  

• Equação de Schrödinger

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$

se converte em

${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

• A energia de uma partícula ou fóton com frequência radiante ${\displaystyle {\omega }\ }$ em sua função de onda

${\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

se converte em

${\displaystyle {E=\omega }\ }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

• A famosa equação de massa-energia de Einstein

${\displaystyle {E=mc^{2}}\ }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

se converte em

${\displaystyle {E=m}\ }$

(por exemplo, um corpo com uma massa de 5.000 unidades de Planck de massa tem uma energia intrínseca de 5.000 unidades de Planck de energia) e sua forma completa

${\displaystyle {E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}\ }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

se converte em

${\displaystyle {E^{2}=m^{2}+p^{2}}\ }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

• Equação de campo de Einstein da relatividade geral

${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

se converte em

${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

• A unidade de temperatura se define para que a media de energia térmica cinética por partícula por grau de libertade de movimento

${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}kT}\ }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

se converte em

${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}T}\ }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

• Lei de Coulomb

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

se converte em

${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$ .

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

• Equações de Maxwell

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

se convertem respectivamente em

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

utilizando as unidades de Planck. (Os fatores ${\displaystyle 4\pi \ }$ podem ser eliminados se ${\displaystyle \epsilon _{0}\ }$ for normalizado, em vez da constante de força de Coulomb ${\displaystyle 1/(4\pi \epsilon _{0})\ }$.)

Unidades de Planck básicas[editar | editar código-fonte]

Ao dar valor 1 às cinco constantes fundamentais, as unidades de tempo, comprimento, massa, carga e temperatura se definem assim:

Tabela 2: Unidades de Planck básicas

Nome	Dimensão	Expressão	Equivalência aproximada no Sistema Internacional
Tempo Planck	Tempo (T)	${\displaystyle t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	5.39121 × 10−44 s
Comprimento de Planck	Comprimento (L)	${\displaystyle l_{P}=c\ t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	1.61624 × 10−35 m
Massa de Planck	Massa (M)	${\displaystyle m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	2.17645 × 10−8 kg
Carga de Planck	Carga elétrica (Q)	${\displaystyle q_{P}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}}$	1.8755459 × 10−18 C
Temperatura de Planck	Temperatura (ML2T−2/k)	${\displaystyle T_{P}={\frac {m_{P}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}}$	1.41679 × 1032 K

X


FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Unidades de Planck derivadas[editar | editar código-fonte]

Como em outros sistemas de unidades, as magnitudes físicas derivadas podem ser definidas baseando-se nas Unidades de Planck.

Tabela 3: Unidades de Planck derivadas

Nome	Dimensão	Expressão	Equivalência aproximada no Sistema Internacional
Energia de Planck	Energia (ML2/T2)	${\displaystyle E_{P}=m_{P}c^{2}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	1.9561 × 109 J
Força de Planck	Força (ML/T2)	${\displaystyle F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1.21027 × 1044 N
Potência de Planck	Potência (ML2/T3)	${\displaystyle P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	3.62831 × 1052 W
Densidade de Planck	Densidade (M/L3)	${\displaystyle \rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5.15500 × 1096 kg/m³
Frequência angular de Planck	Frequência (1/T)	${\displaystyle \omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	1.85487 × 1043 rad/s
Pressão de Planck	Pressão (M/LT2)	${\displaystyle p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	4.63309 × 10113 Pa
Corrente elétrica de Planck	Corrente elétrica (Q/T)	${\displaystyle I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}}$	3.4789 × 1025 A
Tensão elétrica de Planck	Tensão elétrica (ML2/T2Q)	${\displaystyle V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}}$	1.04295 × 1027 V
Resistência elétrica de Planck	Resistência (ML2/T Q2)	${\displaystyle Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}}$	2.99792458 × 10¹ Ω

X
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Unidades de Planck simplificam as equações principais da física[editar | editar código-fonte]

Ordinariamente, grandezas físicas que tem diferentes dimensões (tais como tempo e comprimento) não podem ser equiparadas, mesmo que sejam numericamente iguais (1 segundo não é o mesmo que 1 metro). Contudo, em física teórica este critério pode ser anulado de maneira a simplificar cálculos. O processo pelo qual isto é feito é chamado "adimensionalização". A tabela 4 mostra como unidades de Planck, pela escolha dos valores numéricos das cinco constantes fundamentais à unidade, simplificam muitas equações da física e fazem-nas adimensionais.

Tabela 4: Equações adimensionalizadas

	Forma usual	Forma adimensionalizada
Lei de Newton de Gravitação Universal	${\displaystyle F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$
Equação de Schrödinger	${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$
Relação de Planck relacionando a energia de partícula à frequência angular ${\displaystyle {\omega }\ }$ de sua função de onda	${\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }$	${\displaystyle {E=\omega }\ }$
Equação massa/energia da relatividade restrita de Einstein	${\displaystyle {E=mc^{2}}\ }$	${\displaystyle {E=m}\ }$
Equações de campo de Einstein da relatividade geral	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }$	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }$
Energia térmica por partícula por grau de liberdade	${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}kT}\ }$	${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}T}\ }$
Lei de Coulomb	${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$
Equações de Maxwell	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Normalizações alternativas[editar | editar código-fonte]

Como já foi afirmado na introdução, unidade de Planck são derivadas de "normalizar" os valores numéricos de certas constantes fundamentais a 1. Estas normalizações são nem as únicas possíveis, nem necessariamente as melhores. Além disso, a escolha de quais constantes normalizar não é evidente, e os valores das unidades de Planck são sensíveis a esta escolha.

O fator 4π, e múltiplos dele tais como 8π, são ubíquos em fórmulas em física teórica porque estão atrelados a área da superfície da esfera unitária tridimensional. Por exemplo, campos gravitacionais e elétricos produzidos por cargas pontuais têm simetria esférica^{[1] (pgs 214-15)}. O 4πr² que aparece no denominador da Lei de Coulomb, por exemplo, reflete o fato que o fluxo do campo elétrico distribui-se uniformemente sobre a superfície da esfera. Se o espaço tem mais dimensões, o fator correspondente a 4π deverá ser diferente.

Em qualquer evento, uma escolha fundamental que tem de ser feita quando se construindo um sistema de unidades naturais é que, se for o adequado, os casos de 4nπ aparecendo nas equações da física serão eliminados através da normalização.

• Escolhendo ε₀ = 1.

Planck normalizou a 1 a constante da força de Coulomb 1/(4πε₀) (tal como no sistema CGS de unidades). Isso define a impedância de Planck, Z_P como igual a Z₀/4π, onde Z₀ é a impedância característica do espaço livre. Normalizando a permissividade do espaço livre ε₀ a 1 não só faz Z_P igual a Z₀, mas também elimina 4π das equações de Maxwell. Por outro lado, a forma adimensionalizada da lei de Coulomb irá agora conter um fator of 1/(4π).

• Escolhendo 4nπG = 1.

Em 1899, a relatividade geral estava alguns anos no futuro, e a lei da gravitação universal de Newton era ainda vista como fundamental, e não como uma aproximação conveniente para o tratamento de "pequenas" velocidades e distâncias. Por isso Planck normalizou a 1 a constante gravitacional G na lei de Newton. Em teorias surgidas após 1899, G é quase sempre multiplicada por 4π ou múltiplos.

• 4πG aparece em:
  • Lei de Gauss para a gravidade, Φ_g = −4πGM;
  • Impedância característica da radiação gravitacional no espaço livre, Z₀ = 4πG/c.^[2] O c no denominador decorre da predição da relatividade geral que a radiação gravitacional propaga-se a mesma velocidade das radiações eletromagnéticas;
  • Equações gravitoeletromagnéticas (GEM), que apoaim-se nos campos gravitacionais fracos ou espaço-tempo razoavelmente plano. Estas equações têm a mesma forma das equações de Maxwell (e a equação da força de Lorentz) do eletromagnetismo, com densidade de massa substituindo a densidade de carga, e com 1/(4πG) substituindo ε₀.

• 8πG aparece nas equações de campo de Einstein, na ação de Einstein-Hilbert, nas equações de Friedmann, e na equação de Poisson para a gravitação. Unidades de Planck modificadas em que 8πG = 1 são conhecidas como unidades de Planck reduzidas, porque a massa de Planck é dividida por ${\displaystyle {\sqrt {8\pi }}{\text{.}}}$

• Escolhendo 16πG = 1 eliminará a constante k = c⁴/(16πG) da ação de Einstein-Hilbert. As equações de campo de Einstein com constante cosmológica Λ torna-se R_μν − Λg_μν = (Rg_μν − T_μν)/2.
• X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Por isso um volume substancial de física teórica descoberta desde Planck (1899) sugere se normalizar a 1 não G mas 4nπG, n = 1, 2, or 4. No entanto, fazê-lo, seria introduzir um fator de 1/(4nπ) na adimencionalizada lei de gravitação universal.

• Escolhendo k = 2.

Isto removeria o fator de 2 na equação adimencionalizada da energia térmica por partícula por grau de liberdade, e não afetaria o valor de qualquer base ou unidades derivadas outras que a temperatura de Planck.

A temperatura de Planck, chamada assim pelo físico alemão Max Planck, é a unidade de temperatura no sistema de unidades naturais conhecida como Unidades de Planck.

É uma das unidades de Planck que representa um limite fundamental da mecânica quântica. A temperatura de Planck é o valor limite máximo de temperatura; a ciência moderna o considera não essencial para fazer conjecturas sobre o calor da matéria, ao ser o limite máximo ao que a matéria pode operar. Tudo gira em torno da energia à que todas as partículas subatômicas podem ser excitadas até romper-se. É a temperatura do Universo durante o primeiro instante (a primeira unidade do tempo de Planck) do Big Bang de acordo com a atual cosmologia.

${\displaystyle T_{P}={\frac {m_{P}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}=}$ 1,41679(11) × 10³² K

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Onde:

• m_P é a massa de Planck,
• c é a velocidade da luz no vácuo,
• ${\displaystyle \hbar }$ é a constante reduzida de Planck,
• G é a constante de gravitação universal,
• k é a constante de Boltzmann.

Diamagnetismo de Langevin[editar | editar código-fonte]

A teoria do diamagnetismo de Langevin^[8] se aplica a materiais que contém átomos O número de revoluções por unidade de tempo é com "cascas fechadas" (ver dielétrico). Um campo magnético com intensidade B, aplicado a um elétron com carga e e massa m, dá início ao processo de movimento do Raio de Larmor com uma frequência ω = eB / 2m. O número de revoluções por unidade de tempo é ω / 2π. Então a corrente elétrica para um átomo com Z elétrons é (em unidades do SI):

${\displaystyle I=-{Ze^{2}B \over 4\pi m}}$.

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

O momento magnético de um loop de corrente é igual a corrente vezes a área do loop. Suponha que o campo é alinhado com o eixo z, a área média do loop pode ser dada por π(ρ²) , onde (ρ²) é a raíz quadrada da distância dos elétrons perpendiculares ao eixo z. O momento magnético é, portante:

${\displaystyle \mu =-{Ze^{2}B \over 4m}(\rho ^{2})}$.

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Se a distribuição da carga é esfericamente simétrica, podemos supor que a distribuição das coordenadas x, y, z são independentes e igualmente distribuídas. Então ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =\langle y^{2}\rangle =\langle z^{2}\rangle ={1 \over 3}\langle r^{2}\rangle }$. Onde. ${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$é a raíz quadrada da distância dos elétrons até o núcleo, portanto ${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle ={2 \over 3}\langle r^{2}\rangle }$. Se n é o número de átomos por unidade de volume, a susceptibilidade magnética do volume é, em unidades do SI:

${\displaystyle \mathrm {X} ={\mu _{0}n\mu \over B}=-{\mu _{0}e^{2}Zn \over 6m}\langle r^{2}\rangle }$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Curvando a superfície da água[editar | editar código-fonte]

Se um imã forte é coberto com uma camada fina de água em comparação ao diâmetro do imã, então o campo magnético do imã irá repelir a água, gerando uma pequena curvatura na superfície e que pode sr que pode ser vista pelo seu reflexo.^[9]

Método de medição dos campos[editar | editar código-fonte]

O método descrito pelo ciclo de histerese mede o campo de indução magnética ${\displaystyle \mathbf {B} }$ em função do campo magnético ${\displaystyle \mathbf {H} }$. Se considermos um anel de material ferromagnético de seção A e raio R constante, envolvido por N espiras pelas quais passa uma corrente contínua I. Nesta situação, os campos são circulares dentro do anel e são desprezíveis fora dele. Deste modo se calcula o valor de ${\displaystyle \mathbf {H} }$ a partir da Lei de Ampère:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =N\ I}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

e, como o anel tem simetria circular, a integral resulta:

${\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I\Longrightarrow H={\frac {N\ I}{2\pi R}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Levando em conta a permeabilidade magnética relativa do material ${\displaystyle \mu _{r}}$, é possível calcular o campo de indução magnética:

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{r}\ H=\mu \ H}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Este sistema é usado na prática para medir os dois campos ao variar a intensidade da corrente:

${\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Uma vez medidos ${\displaystyle \mathbf {H} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ se pode encontrar o valor da magnetização ${\displaystyle \mathbf {M} }$:

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {M} }{\mu _{0}}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Por meio desse procedimento é possível obter experimentalmente a curva de magnetização, ou a variação do campo magnético em função do vetor de indução magnética e, portanto, o ciclo de histerese.

Temperatura de Curie[editar | editar código-fonte]

Marie Curie foi a primeira a descobrir que existe uma temperatura crítica para cada material ferromagnético acima da qual o material se comporta como paramagnético. Quando a temperatura aumenta, o movimento térmico compete com a tendência ferromagnética para os dipolos se alinharem. Quando a temperatura sobe além de certo ponto, chamado de temperatura Curie, há uma transição de fase de segunda ordem e o sistema não pode mais manter uma magnetização espontânea, embora ainda responda paramagneticalmente a um campo externo. Abaixo dessa temperatura, há uma quebra espontânea de simetria e forma-se domínios aleatórios (na ausência de um campo externo). A Susceptibilidade magnética segue a lei de Curie-Weiss:

${\displaystyle \chi _{m}={\frac {C\ \rho }{T-T_{c}}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

onde C é uma constante característica do material, ${\displaystyle \rho }$ sua densidade e ${\displaystyle T_{c}}$ a temperatura de Curie em kelvin.

Modelos teóricos[editar | editar código-fonte]

O ferromagnetismo representa um dos principais problemas em aberto da física do estado sólido. Existem dois modelos teóricos que o descrevam: o modelo de Ising e o modelo de Weiss, o qual será tratado a seguir, ambos sendo baseados na hamiltoniana de Werner Karl Heisenberg, mas que utilizam grandes aproximações.

Hamiltoniana de Heisenberg[editar | editar código-fonte]

A hamiltoniana para um par de elétrons pertencentes a átomos vizinhos é:

${\displaystyle H=H_{1}+H_{2}+V_{12}\ }$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

onde ${\displaystyle H_{1}}$ e ${\displaystyle H_{2}}$ são as hamiltonianas apenas dos elétrons, e ${\displaystyle V_{12}}$ é a interação entre os dois.

Pelo princípio de exclusão de Pauli, a função de onda total deve ser antissimétrica. Assim, tem-se duas possibilidades:

${\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{S}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{A}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}$

ou

${\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{A}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{S}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Onde os subscritos “A” ou “S” indicam uma função antissimétrica/simétrica.

As funções de onda de spin para um par de elétrons são:

${\displaystyle \chi _{S}:\left\{{\begin{matrix}|++\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=1]\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]\\|--\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=-1]\\\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \chi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle -|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

As funções de onda “espaciais” são:

${\displaystyle \psi _{S}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})+\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}$

${\displaystyle \psi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})-\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Efetuando um cálculo perturbativo sobre tais funções de onda obtêm-se:

${\displaystyle E=\left\{{\begin{matrix}E_{0}+J\quad \rightarrow \quad \varphi _{1}=\psi _{S}\chi _{A}\\E_{0}-J\quad \rightarrow \quad \varphi _{2}=\psi _{A}\chi _{S}\\\end{matrix}}\right.}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Onde J é conhecida como integral de troca, que está relacionada com a Interação de Troca, interação responsável pela tendência dos momentos magnéticos do material a permanecerem paralelos entre si. A hamiltoniana separa, então, os estados com spins diferentes, e por este motivo, Heisenberg encontrou um operador que distinguisse os estados com spin diferente e que então pudesse descrever a interação precedente. Tal operador é:

${\displaystyle \mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}=\left\{{\begin{matrix}-{\frac {3}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{1}\\{\frac {1}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{2}\\\end{matrix}}\right.}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Logo, a Hamiltoniana de Heisenberg é:

${\displaystyle H_{Heisenberg}=-2J\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Modelo de Weiss[editar | editar código-fonte]

O modelo de Weiss propõe a generalização da hamiltoniana de Heisenberg para um sistema com mais elétrons, utilizando uma aproximação de campo médio: um elétron sofre uma interação devida à média do campo gerado pelos outros elétrons.

A Hamiltoniana do sistema torna-se então:

${\displaystyle H_{magn}=g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} )\mathbf {s} (\mathbf {r} ')=s(\mathbf {r} )\cdot \langle g_{0}\mu _{B}\mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} ')\rangle =}$

${\displaystyle =s(\mathbf {r} )g_{0}\mu _{B}\left(\mathbf {B} -{\frac {1}{g_{0}\mu _{B}}}\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {\langle } s(\mathbf {r} ')\rangle \right)}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

onde ${\displaystyle g_{0},\mu _{B}}$ são, respectivamente o fator giromagnético e o magnéton de Bohr.

Substituindo o momento magnético:

${\displaystyle \mathbf {m} =-g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} }$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

E o vetor magnetização:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {N}{V}}\langle \mathbf {m} \rangle }$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Tem-se:

${\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )\left(\mathbf {B} +\sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}{\frac {V}{N}}\mathbf {M} \right)}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Logo:

${\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )(\mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} )}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Percebe-se uma analogia com o paramagnetismo de Langevin, no qual se faz o mesmo tipo de estudo, substituindo-se o campo magnético por um campo magnético eficaz, dado por:

${\displaystyle \mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} }$.

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Existe, assim, uma temperatura crítica de Curie:

${\displaystyle T_{C}={\frac {J_{0}s(s+1)}{3k}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Abaixo da qual se manifestam os efeitos do ferromagnetismo. As quantidades “s” e “k” são os autovalores do spin e a constante de Boltzmann repectivamente, enquanto ${\displaystyle J_{0}}$ é dado por:

${\displaystyle \sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Lei de Curie[editar | editar código-fonte]

Sob baixos campos magnéticos, os materiais paramagnéticos exibem a magnetização na mesma direção do campo externo, e de acordo com a lei de Curie:

${\displaystyle \mathbf {M_{R}} =C\cdot {\frac {\mathbf {B} }{T}}}$

onde:

M_R é a magnetização resultante.

B é a densidade do fluxo magnético do campo aplicado, medido em tesla.

T é a temperatura absoluta, medida em kelvin.

C é uma constante específica de cada material (sua Constante de Curie).

Esta lei indica que os materiais paramagnéticos tendem a se tornar cada vez mais magnéticos enquanto o campo magnético aumentar, e cada vez menos magnéticos ao aumentar a temperatura. A lei de Curie é incompleta, pois não prediz a saturação que ocorre quando a maioria dos dipolos magnéticos estão alinhados, pois a magnetização será a máxima possível, e não crescerá mais, independentemente de aumentar o campo magnético ou diminuir-se a temperatura.

Materiais paramagnéticos[editar | editar código-fonte]

• Sódio Na [11] (metal alcalino)
• Magnésio Mg [12] (metal alcalino-terroso)
• Cálcio Ca [20] (metal alcalino-terroso)
• Estrôncio Sr [38] (metal alcalino-terroso)
• Bário Ba [56] (metal alcalino-terroso)
• Alumínio Al [13] (metal terroso) É o material paramagnético preferido para aplicações em catapultas eletromagnéticas lunares, utilizando rególito como minério.
• Oxigênio O [8] (ametal calcogênio) Na forma líquida.
• Tecnécio Tc [43] (metal de transição externa) (elemento artificial)
• Platina Pt [78] (metal de transição externa) (metal nobre)
• Urânio U [92] (metal de transição interna) (actinídeo)
• Óxido Nítrico NO [15] (composto gasoso da categoria dos monóxidos)

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.